Arma Mobile Moyenne Exemple

Modèles ARMA et ARIMA (Box-Jenkins) Modèles ARMA et ARIMA (Box-Jenkins) Dans les sections précédentes, nous avons vu comment la valeur d'une série temporelle univariée au temps t. X t. Peut être modélisé en utilisant une variété d'expressions de la moyenne mobile. Nous avons également montré que des composantes telles que les tendances et la périodicité des séries chronologiques peuvent être explicitement modélisées et / ou séparées, les données étant décomposées en composantes tendances, saisonnières et résiduelles. Nous avons également montré, dans les discussions précédentes sur l'autocorrélation. Que les coefficients d'autocorrélation complète et partielle sont extrêmement utiles pour identifier et modéliser des modèles dans des séries chronologiques. Ces deux aspects de l'analyse et de la modélisation des séries chronologiques peuvent être combinés dans un cadre de modélisation global plus général et souvent très efficace. Dans sa forme de base, cette approche est connue sous le nom de modélisation ARMA (moyenne mobile autorégressive), ou lorsque la différenciation est incluse dans la procédure, la modélisation ARIMA ou Box-Jenkins, après les deux auteurs qui ont joué un rôle central dans son développement BOX1, et Box, Jenkins amp Reinsel, 1994 BOX2). Il n'existe pas de règle fixe quant au nombre de périodes requises pour un exercice de modélisation réussi, mais pour des modèles plus complexes et pour une plus grande confiance dans les procédures d'ajustement et de validation, des séries de 50 étapes sont souvent recommandées. Les modèles ARMA combinent les méthodes d'autocorrélation (AR) et les moyennes mobiles (MA) dans un modèle composite de la série chronologique. Avant d'examiner comment ces modèles peuvent être combinés, nous examinons chacun séparément. Nous avons déjà vu que les modèles de moyenne mobile (MA) peuvent être utilisés pour fournir un bon ajustement à certains jeux de données, et les variations de ces modèles qui impliquent un lissage exponentiel double ou triple peuvent gérer les composantes tendances et périodiques dans les données. En outre, ces modèles peuvent être utilisés pour créer des prévisions qui imitent le comportement de périodes antérieures. Une forme simple de ces modèles, basée sur des données antérieures, peut être écrite comme: Où les termes bêta i sont les poids appliqués aux valeurs antérieures dans la série chronologique, et il est habituel de définir bêta i 1, sans perte de généralité. Ainsi, pour un processus de premier ordre, q 1 et nous avons le modèle: c'est-à-dire que la moyenne mobile est estimée comme une moyenne pondérée des valeurs passées courantes et immédiates. Ce processus de calcul des moyennes est en quelque sorte un mécanisme de lissage pragmatique sans lien direct avec un modèle statistique. Cependant, nous pouvons spécifier un modèle statistique (ou stochastique) qui embrasse les procédures de moyennes mobiles en conjonction avec des processus aléatoires. Si on laisse un ensemble de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (un processus aléatoire) avec une moyenne nulle et une variance fixe connue, on peut écrire le processus comme une moyenne mobile d'ordre q en termes de: Clairement la valeur attendue de xt sous Ce modèle est 0, donc le modèle n'est valable que si le xt a déjà été ajusté pour avoir une moyenne nulle ou si une constante fixe (la moyenne du xt) est ajoutée à la somme. Il est également évident que la variance de xt est simplement: On peut étendre l'analyse ci-dessus pour évaluer la covariance, cov (x t. Xtk), que l'on trouve des rendements: Notons que ni la valeur moyenne, ni la covariance (ou autocovariance) Au décalage k est une fonction du temps, t. Donc le processus est de second ordre stationnaire. L'expression ci-dessus nous permet d'obtenir une expression pour la fonction d'autocorrélation (acf): Si k 0 rho k 1, et pour k gt q rho k 0. De plus, l'acf est symétrique et rho k rho - k. On peut calculer l'acf pour un processus MA de premier ordre: La composante autorégressive ou AR d'un modèle ARMA peut s'écrire sous la forme: où les termes in sont des coefficients d'autocorrélation aux décalages 1,2. P et z t est un terme d'erreur résiduelle. Notez que ce terme d'erreur concerne spécifiquement la période de temps actuelle, t. Ainsi, pour un processus de premier ordre, p 1 et nous avons le modèle: Ces expressions indiquent que la valeur estimée de x au temps t est déterminée par la valeur immédiatement précédente de x (c'est-à-dire au temps t -1) multipliée par une mesure alpha . De la mesure dans laquelle les valeurs de toutes les paires de valeurs à des intervalles de temps lag 1 séparés sont corrélées (c'est-à-dire leur autocorrélation), plus un terme d'erreur résiduelle, z. À l'instant t. Mais c'est précisément la définition d'un Processus de Markov. Donc un processus de Markov est un processus autorégressif de premier ordre. Si alpha 1 le modèle indique que la valeur suivante de x est simplement la valeur précédente plus un terme d'erreur aléatoire, et donc est une simple marche aléatoire 1D. Si l'on inclut d'autres termes, le modèle estime la valeur de x à l'instant t par une somme pondérée de ces termes plus une composante d'erreur aléatoire. Si l'on substitue la seconde expression au premier, on a: et l'application répétée de cette substitution donne: Or, si alpha lt1 et k est grand, cette expression peut être écrite dans l'ordre inverse, avec des termes décroissants et avec la contribution du terme En x sur le côté droit de l'expression devenant petit à petit, nous avons: Puisque le côté droit de cette expression modèle xt comme la somme d'un ensemble pondéré de valeurs antérieures, dans ce cas des termes d'erreur aléatoires, il est clair que Ce modèle AR est, en fait, une forme de modèle MA. Et si nous supposons que les termes d'erreur ont une moyenne nulle et une variance constante, alors comme dans le modèle MA, nous avons la valeur attendue du modèle aussi 0, en supposant que le xt a été ajusté pour fournir une moyenne zéro, avec la variance: Nous avons: Comme avec le modèle MA ci-dessus, cette analyse peut être étendue pour évaluer la covariance, cov (x t. X tk) d'une première Nous avons: Cela démontre que pour un modèle autorégressif de premier ordre, la fonction d'autocorrélation (acf) est simplement définie Par des puissances successives de l'autocorrélation du premier ordre, avec la condition alpha lt1. Pour alpha gt0, il s'agit simplement d'une puissance en diminution rapide ou exponentielle, tendant à zéro, ou pour lt0, c'est une courbe oscillatoire d'amortissement, tendant de nouveau à zéro. Si l'on suppose que la série temporelle est stationnaire, l'analyse ci-dessus peut être étendue à des autocorrélations de deuxième ordre et d'ordre supérieur. Afin d'adapter un modèle AR à un ensemble de données observées, nous cherchons à minimiser la somme des erreurs au carré (un ajustement par les moindres carrés) en utilisant le plus petit nombre de termes qui fournissent un ajustement satisfaisant aux données. Les modèles de ce type sont décrits comme autorégressifs. Et peut être appliquée à la fois aux séries chronologiques et aux ensembles de données spatiales (voir plus loin, les modèles d'autorégression spatiale). Bien qu'en théorie un modèle autorégressif puisse fournir un bon ajustement à un ensemble de données observé, il nécessiterait généralement un retrait préalable, des composantes de tendance et périodiques, et même alors pourrait nécessiter un grand nombre de termes afin de fournir un bon ajustement aux données. Toutefois, en combinant les modèles AR avec les modèles MA, nous pouvons produire une famille de modèles mixtes qui peuvent être appliqués dans un large éventail de situations. Ces modèles sont connus sous le nom de modèles ARMA et ARIMA et sont décrits dans les sous-sections suivantes. Dans les deux sous-sections précédentes, nous avons introduit le mode MA d'ordre q: et le modèle AR d'ordre p: On peut combiner ces deux modèles en les additionnant simplement comme un modèle d'ordre (p. Et q MA termes: En général, cette forme de modèle combiné ARMA peut être utilisé pour modéliser une série chronologique avec moins de termes globaux que soit un MA ou un modèle AR par eux-mêmes. Elle exprime la valeur estimée au temps t comme la somme des q termes qui représentent la variation moyenne de la variation aléatoire sur q périodes précédentes (la composante MA), plus la somme des termes p AR qui calculent la valeur courante de x comme somme pondérée Des p valeurs les plus récentes. Cependant, cette forme de modèle suppose que la série temporelle est stationnaire, ce qui est rarement le cas. En pratique, les tendances et la périodicité existent dans de nombreux ensembles de données, il est donc nécessaire de supprimer ces effets avant d'appliquer ces modèles. L'enlèvement est généralement effectué en incluant dans le modèle un stade de différenciation initial, typiquement une, deux ou trois fois, jusqu'à ce que la série soit au moins approximativement stationnaire - ne présentant aucune tendance ou périodicité évidente. Comme pour les processus MA et AR, le processus de différenciation est décrit par ordre de différenciation, par exemple 1, 2, 3. Ensemble, ces trois éléments forment un triple: (p, d, q) qui définit le type de modèle appliqué. Dans cette forme, le modèle est décrit comme un modèle ARIMA. La lettre I dans ARIMA fait référence au fait que l'ensemble de données a été initialement différencié (cf. différenciation) et lorsque la modélisation est terminée, les résultats doivent ensuite être additionnés ou intégrés pour produire les estimations et prévisions finales. La modélisation ARIMA est discutée ci-dessous. Comme on l'a noté dans la section précédente, la combinaison de la différenciation d'une série temporelle non stationnaire avec le modèle ARMA fournit une famille puissante de modèles qui peuvent être appliqués dans un large éventail de situations. Le développement de ce modèle étendu est largement dû à G E P Box et G M Jenkins, et en conséquence les modèles d'ARIMA sont également connus comme des modèles de Box-Jenkins. La première étape de la procédure de Box-Jenkins est de différencier la série chronologique jusqu'à ce qu'elle soit stationnaire, ce qui permet d'éliminer les composantes saisonnières et les tendances. Dans de nombreux cas, une ou deux étapes de différenciation sont suffisantes. La série différenciée sera plus courte que la série source par c pas de temps, où c est la plage de la différenciation. Un modèle ARMA est alors adapté à la série temporelle résultante. Parce que les modèles ARIMA ont trois paramètres il ya beaucoup de variations aux modèles possibles qui pourraient être montés. Cependant, la décision sur ce que ces paramètres devraient être peut être guidée par un certain nombre de principes de base: (i) le modèle doit être aussi simple que possible, c'est-à-dire contenir le moins de termes possible, ce qui signifie les valeurs de p et q (Ii) l'ajustement aux données historiques devrait être aussi bon que possible, c'est-à-dire que la taille des écarts au carré entre la valeur estimée à n'importe quelle période passée et la valeur réelle doit être minimisée (principe des moindres carrés) Du modèle sélectionné peut alors être examinée pour voir si les résidus restants sont significativement différents de 0 (voir plus loin, ci-dessous) (iii) l'autocorrélation partielle mesurée aux décalages 1,2,3. Devrait donner une indication de l'ordre de la composante AR, c'est-à-dire que la valeur choisie pour q (iv) la forme de la fonction d'autocorrélation (acf) tracé peut suggérer le type de modèle ARIMA requis - le tableau ci-dessous (du NIST) Interprétant la forme de l'acf en termes de sélection de modèle. Sélection de type de modèle ARIMA en utilisant la forme acf La série n'est pas stationnaire. Les modèles ARIMA standard sont souvent décrits par le triple: (p. Ceux-ci définissent la structure du modèle en fonction de l'ordre des modèles AR, différenciation et MA à utiliser. Il est également possible d'inclure des paramètres similaires pour la saisonnalité dans les données, bien que ces modèles soient plus complexes à ajuster et à interpréter - le trip (P. D. Q) est généralement utilisé pour identifier ces composantes du modèle. Dans la capture d'écran de SPSS présentée ci-dessous, la boîte de dialogue permettant de sélectionner manuellement les éléments structurels non saisonniers et saisonniers est affichée (des installations similaires sont disponibles dans d'autres packages intégrés, tels que SASETS). Comme on peut le voir, le dialogue permet également de transformer les données (généralement pour aider à la stabilisation de la variance) et de permettre aux utilisateurs d'inclure une constante dans le modèle (par défaut). Cet outil logiciel particulier permet de détecter les valeurs aberrantes si nécessaire, selon une gamme de procédures de détection, mais dans de nombreux cas, les valeurs aberrantes ont été étudiées et ajustées ou supprimées et les valeurs de substitution ont été estimées avant toute analyse. Modélisation de la série temporelle SPSS: modélisation ARIMA, mode expert Un certain nombre de modèles ARIMA peuvent être montés sur les données, manuellement ou via un processus automatisé (par exemple un processus par étapes), et une ou plusieurs mesures utilisées pour juger ce qui est le meilleur en termes de L'ajustement et la parcimonie. La comparaison des modèles utilise typiquement une ou plusieurs des mesures de la théorie de l'information décrites plus haut dans ce manuel - AIC, BIC ou MDL (la fonction R, arima (), fournit la mesure AIC, alors que SPSS fournit une gamme de mesures d'ajustement, Version de la statistique BIC d'autres outils varient dans les mesures fournies - Minitab, qui fournit une gamme de méthodes TSA, ne comprend pas les statistiques de type AICBIC). En pratique, on peut utiliser un large éventail de mesures (c'est-à-dire en plus des mesures basées sur les moindres carrés) pour évaluer la qualité du modèle. Par exemple, l'erreur absolue moyenne et l'erreur absolue maximale peuvent être des mesures utiles, Une statistique fréquemment appliquée est due à Ljung et Box (1978 LJU1), et à l'évaluation de l'autocorrélation qui peut rester dans les résidus après l'ajustement du modèle. Est de la forme: où n est le nombre d'échantillons (valeurs de données), ri est l'autocorrélation de l'échantillon au décalage i et k le nombre total de décalages sur lesquels le calcul est effectué. Q k est approximativement distribué sous forme de chi - distribution en quadrature avec k - m degrés de liberté, où m est le nombre de paramètres utilisés pour l'ajustement du modèle, excluant toute variable à terme constant ou prédicteur (c'est-à-dire incluant pd q triples) Les résidus contiennent encore une autocorrélation significative après l'installation du modèle, ce qui suggère qu'un modèle amélioré devrait être recherché. Exemple: Modélisation de la croissance du nombre de passagers des lignes aériennes Voici un exemple de montage automatisé utilisant SPSS aux données d'essai de Box-Jenkins-Reinsel des numéros de passagers REI1 fournis plus haut dans ce manuel. Initialement aucune spécification des dates étant des mois dans les années a été spécifiée. Le modèle sélectionné par le processus automatisé était un modèle ARIMA (0,1,12), c'est-à-dire que le processus identifiait correctement que la série nécessitait un niveau de différenciation et appliquait un modèle de moyenne mobile avec une périodicité de 12 et pas de composante d'autocorrélation pour s'adapter Les données. Le modèle d'ajustement produit une valeur R 2 de 0,966, qui est très élevée, et une erreur absolue maximale (MAE) de 75. L'ajustement visuel du modèle aux données semble excellent, mais le tracé de l'autocorrélation résiduelle après l'ajustement et Ljung - Box test montre que l'autocorrélation significative reste, indiquant qu'un modèle amélioré est possible. Le modèle automatisé ARIMA adapté aux passagers internationaux de la compagnie aérienne: totaux mensuels, 1949-1960 Pour étudier cela plus loin, un modèle révisé a été adapté, basé sur la discussion de cet ensemble de données par Box et Jenkins (1968) et la version mise à jour de Chatfields (1975 CHA1) Dont il utilise Minitab pour illustrer son analyse (6ème édition, 2003). La série temporelle a été définie comme ayant une périodicité de 12 mois et un modèle ARIMA avec des composantes (0,1,1), (0,1,1). Graphiquement, les résultats semblent très semblables au graphique ci-dessus, mais avec ce modèle le R-carré est 0,991, le MAE41 et la Ljung-Box statistique n'est plus significative (12,6, avec 16 degrés de liberté). Le modèle est donc une amélioration par rapport à la version originale (générée automatiquement), composée d'une MA non saisonnière et d'une composante MA saisonnière, d'une composante autorégressive et d'un niveau de différenciation pour les structures saisonnières et non saisonnières. Qu'il s'agisse d'un montage manuel ou automatisé, un modèle ARIMA peut fournir un bon cadre pour la modélisation d'une série temporelle ou il se peut que des modèles ou approches alternatifs donnent un résultat plus satisfaisant. Souvent, il est difficile de savoir à l'avance quel est le bon modèle de prévision, car c'est seulement à la lumière de sa capacité à prédire les valeurs futures des séries de données qu'il peut être véritablement jugé. Souvent, ce processus est approché en ajustant le modèle à des données antérieures excluant des périodes de temps récentes (également appelées échantillons de hold-out), puis en utilisant le modèle pour prédire ces événements futurs connus, mais cela ne donne qu'une confiance limitée dans sa validité future. Les prévisions à plus long terme peuvent être extrêmement peu fiables en utilisant de telles méthodes. Il est clair que le modèle de statistiques de trafic aérien décrit ci-dessus ne permet pas de prédire correctement le nombre de passagers dans les années 1990 et au-delà, ni la baisse de 5 ans du nombre de passagers aériens internationaux des États-Unis après 9112001. Un modèle ARIMA peut être adapté aux valeurs historiques Des cours boursiers ou des indices (par exemple, les indices NYSE ou FTSE) et fournira généralement un excellent ajustement aux données (ce qui donne une valeur R-carré supérieure à 0,99), mais sont souvent peu utiles pour prévoir les valeurs futures de ces prix Ou des indices. Typiquement, les modèles ARIMA sont utilisés pour la prévision, en particulier dans le domaine de la modélisation macro et micro-économique. Cependant, elles peuvent être appliquées dans un large éventail de disciplines, soit sous la forme décrite ici, soit augmentées avec des variables prédictives supplémentaires qui sont censées améliorer la fiabilité des prévisions faites. Ces derniers sont importants parce que la structure entière des modèles ARMA discutés ci-dessus dépend des valeurs antérieures et des événements aléatoires indépendants dans le temps, et non sur aucun facteur explicatif ou causatif. Par conséquent, les modèles ARIMA ne reflèteront et ne prolongeront pas les modèles passés, qui pourraient devoir être modifiés dans les prévisions par des facteurs tels que l'environnement macroéconomique, les changements technologiques ou les changements à long terme des ressources et / ou de l'environnement. BOX1 Boîte G E P, Jenkins G M (1968). Quelques avancées récentes en matière de prévision et de contrôle. Statistiques appliquées, 17 (2), 91-109 BOX2 Box, G E P, Jenkins, G M, Reinsel G C (1994) Analyse, prévision et contrôle des séries chronologiques. 3ème éd. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ CHA1 Chatfield C (1975) L'analyse des séries chronologiques: théorie et pratique. Chapman et Hall, Londres (voir également, 6e éd., 2003) LJU1 Ljung G M, Box G E P (1978) Sur une mesure d'un manque d'ajustement dans les modèles de séries chronologiques. Biometrika, 65, 297303 NISTSEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, itl. nist. govdiv898handbook Section 6.4: Introduction aux séries chronologiques. 2010 SPSSPASW 17 (2008) AnalyseForecasting (modèles de séries temporelles) REI1 Reinsel GC Ensembles de données pour les modèles Box-Jenkins: stat. wisc. eduDocumentation est la moyenne inconditionnelle du processus, et x03C8 (L) est un polynôme opérateur de ralentissement à degré infini , (1 x 03C8 1 L x 03C8 2 L 2 x 20 26). Remarque: La propriété Constant d'un objet modèle arima correspond à c. Et non la moyenne inconditionnelle 956. Par décomposition de Wolds 1. L'équation 5-12 correspond à un processus stochastique stationnaire pourvu que les coefficients x03C8 i soient absolument sommables. C'est le cas lorsque le polynôme AR, x03D5 (L). Est stable. Ce qui signifie que toutes ses racines se situent en dehors du cercle unité. De plus, le processus est causal à condition que le polynôme MA soit inversible. Ce qui signifie que toutes ses racines se situent en dehors du cercle unité. Econometrics Toolbox applique la stabilité et l'inversibilité des processus ARMA. Lorsque vous spécifiez un modèle ARMA en utilisant arima. Vous obtenez une erreur si vous entrez des coefficients qui ne correspondent pas à un polynôme AR stable ou à un polynôme MA inversible. De même, l'estimation impose des contraintes de stationnarité et d'inversibilité pendant l'estimation. Références 1 Wold, H. Une étude dans l'analyse des séries chronologiques stationnaires. Uppsala, Suède: Almqvist amp Wiksell, 1938. Sélectionnez votre paysNous commençons notre exemple à partir de la simulation du processus ARMA, puis nous examinons son estimation. Pour illustrer les énoncés du tableau 3.1, nous allons simuler les processus AR (3), MA (2) et ARMA (3 2) et calculer leurs fonctions d'autocorrélation et d'autocorrélation partielle. En particulier, nous simulons Pour commencer, nous générons une série de résidus non corrélés normalement distribués (rappelez-vous, commande nrnd génère standard normalement distribué aléatoire nombre) De plus, nous devons générer des valeurs initiales pour la série. Puisque l'ordre le plus élevé de la série est 3, générons les trois premières valeurs. Cela peut être fait en ajustant l'échantillon à seulement trois premières observations et assigner des valeurs nulles à toutes les trois séries. Smpl first first2 Maintenant, nous fixons l'échantillon pour le reste des observations et générons des séries selon les formules (3.3.2) smpl first3 last Maintenant, nous sommes prêts à construire et à inspecter leurs correlogrammes. Rappelez-vous que, pour construire un corrélogramme, il faut cliquer sur l'icône si la série chronologique étudiée et choisir ViewCorrelogram. option. Les corrélogrammes de trois séries chronologiques sont donnés sur les figures. ...... Comme nous l'avons prévu, la fonction d'autocorrélation de la première série (AR (3)) s'annule lentement vers zéro tandis que sa fonction d'autocorrélation partielle a des pics aux trois premiers décalages. La fonction d'autocorrélation de la deuxième série (MA (2)) a des pointes à deux premiers décalages et disparaît ensuite (devient insignifiante) tandis que la fonction d'autocorrélation partielle décroît oscillant vers zéro. Les deux fonctions d'autocorrélation et d'autocorrélation partielle de la troisième série (ARMA (3, 2)) se décomposent lentement vers zéro sans pointes claires. Figure 3.1: Correlogramme d'un processus AR (3) Figure 3.2: Corrélogramme d'un processus MA (2) Estimation Une estimation des processus ARMA est effectuée dans EViews de la même manière que l'estimation OLS d'une régression linéaire. La seule différence réside dans la définition de termes autorégressifs et de moyennes mobiles dans le modèle. Si la série a des composantes autorégressives, nous devrions inclure les termes ar (1), ar (2), etc, comme régresseurs jusqu'à l'ordre requis. Par exemple, pour estimer la première série, tapez la case de l'équation d'estimation. EViews produit une sortie donnée dans la figure. Tous les coefficients sont significatifs comme prévu et sont très proches des vraies valeurs. L'inférence et les tests peuvent être effectués de la même manière que pour la régression des MCO. Si l'on a besoin d'estimer le modèle contenant les composantes de la moyenne mobile, les termes ma (1), mar (2), etc. devraient être inclus dans la spécification du modèle. Par exemple, pour estimer la seconde série chronologique, nous écrivons des termes autorégressifs et des termes de moyenne mobile peuvent être combinés pour estimer le modèle ARMA. Ainsi, la spécification de la troisième série ressemble. Après avoir estimé un modèle ARMA, on peut vérifier si les coefficients estimés satisfont aux hypothèses de stationnarité. Cela peut être effectué à l'aide de la structure ViewARMA de l'objet Equation. Pour la troisième série, nous obtenons Figure 3.5: Tableau des racines du processus ARMA estimé Il dit que notre série ARMA est à la fois stationnaire et inversible. 3.3.6. Exemple de programmation Si nous n'avions pas connu l'ordre de la série ARMA, nous aurions besoin d'appliquer un des critères d'information pour sélectionner l'ordre le plus approprié de la série. Le programme suivant illustre comment cela peut être fait en utilisant le critère Akaike. Nous devons d'abord définir les ordres maximaux pour les parties autorégressives et mobiles et les stocker dans les variables pmax et qmax. Nous devons également déclarer un objet matrice où les valeurs de la statistique Akaike seront écrites pour chaque spécification du processus ARMA. Ensuite, nous définissons des boucles imbriquées qui exécuteront toutes les spécifications ARMA possibles avec des ordres dans les valeurs maximales. À mesure que le nombre de décalages inclus dans le modèle augmente, nous ajoutons un nouveau terme AR dans le modèle. Pour cela, nous créons une nouvelle chaîne de caractères texte variable contenant la spécification du modèle. Nous effectuons la même procédure avec la spécification MA terme. Une fois la spécification du modèle déterminée et écrite dans l'ordre des variables, nous pouvons utiliser une substitution pour estimer le modèle correspondant. La dernière commande annule l'ordre variable pour l'utilisation dans l'étape suivante des boucles. Maintenant nous pouvons écrire la valeur du critère Akaike pour le courant dans le tableau. Après l'exécution du programme, les valeurs du critère Akaike sont stockées dans la table aic. Maintenant nous pouvons choisir cette spécification du modèle ARMA qui produit la plus petite valeur AIC. Erreur trouvée Veuillez mettre en surbrillance le mot et appuyer sur Shift Enter